一堆递推题
——来自义冢OJ和义冢OJ的contests
P1367【训练题】爬楼梯[2]
描述
何老师爬楼梯，他可以每步上 1 、2或3 级，输入楼梯的级数，求不同的走法数。例如：楼梯一共有3级，他可以每步都走一级，或者第一步走一级，第二步走两级，也可以第一步走两级，第二步走一级，还有就是第一步就上3级，所以一共4种方法。
但不幸的是，楼梯上有K级坏了，何老师不能踩在这些楼梯上，现在给出楼梯的级数N和坏了的K级楼梯，请你计算他上楼梯的方法总数。
輸入
第一行：N、K。 第二行：K个整数h[i]，表示坏了的楼梯的级数(1<=h[i]<=N)。
輸出
不同的走法数，这个数字可能很巨大，所以输出最后答案mod 1234567。
輸入範例 1
輸出範例 1
提示
1 <= N <= 1000 0 <= k < N
思路
把所有有坑的楼梯的方案数在递推过程中设为0
注意有可能最前面几级也有坑
所以用0作为边界
中途检查是否越界
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| #include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int f[MAXN];
bool h[MAXN];
int main(){
int n,k;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=k;++i){
int t;
cin>>t;
h[t]=1;
}
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(h[i]){
f[i]=0;
continue;
}
else if(!f[i]){
if(i-1>=0)f[i]+=f[i-1];
if(i-2>=0)f[i]+=f[i-2];
if(i-3>=0)f[i]+=f[i-3];
f[i]%=1234567;
}
}
cout<<f[n]<<endl;
return 0;
}
|
铺瓷砖
描述
用红色的 1×1 和黑色的 2×2 两种规格的瓷砖不重叠地铺满 n×3 的路面，求出有多少种不同的铺设方案。
輸入
一行一个整数 n，0<n<1000。
輸出
一行一个整数，为铺设方案的数量模12345的结果。
輸入範例 1
輸出範例 1
思路
从之前一格开始填有一种方法
从之前两格开始填有3种方法
但是全用1x1包含在从之前一格开始填里面
所以f[i]=f[i-1]+f[i-2]*2
f[0]=f[1]=1;
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| #include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int f[1005];
int main(){
int n;
cin>>n;
f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i){
f[i]=f[i-1]+f[i-2]*2;
f[i]%=12345;
}
cout<<f[n]<<endl;
return 0;
}
|
城市路径
描述
地图上有 n 个城市，一只奶牛要从 1 号城市开始依次经过这些城市，最终到达 n 号城市。但是这只奶牛觉得这样太无聊了，所以它决定跳过其中的一个城市(但是不能跳过 1 号和 n 号城市)，使得它从 1 号城市开始，到达 n 号城市所经过的总距离最小。假设每一个城市 i 都有一个坐标(x i ，y i )，从 (x 1 ，y 1 ) 的城市 1 到 (x 2 ，y 2 ) 的城市 2 之间的距离为 | x 1 -x 2 | + | y 1 -y 2 | 。
輸入
第 1 行 1 个正整数 n，表示城市个数。接下来的 n 行，每行 2 个数 x i 和 y i ，表示城市 i 的坐标。
輸出
一行一个数，使得它从1号城市开始，跳过某一个城市，到达n号城市所经过的最小总距离。
輸入範例 1
輸出範例 1
提示
【样例说明】跳过 2 号城市。【数据规模】对于 40% 的数据满足：n≤1000。对于 100% 的数据满足：3≤n≤100000，-1000≤x i ，y i ≤1000。
思路
有的题，表面上是一道递推题，实际上可以用模拟做
? ——鲁迅
这是贪心
? ——hqxperisino大佬
比较每一个点删除之后对路程的影响，选出删除之后最短的
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| #include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
struct zb{
int x,y;
} city[MAXN];
int n;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&city[i].x,&city[i].y);
}
int maxs=0,maxi=0;
int he=0;
for(int i=2;i<n;++i){
int tmp=
abs(city[i+1].x-city[i].x)+abs(city[i+1].y-city[i].y)
+abs(city[i-1].x-city[i].x)+abs(city[i-1].y-city[i].y);
tmp-=abs(city[i+1].x-city[i-1].x)+abs(city[i+1].y-city[i-1].y);
if(tmp>maxs){
maxi=i;
maxs=tmp;
}
he+=abs(city[i-1].x-city[i].x)+abs(city[i-1].y-city[i].y);
}
he+=abs(city[n-1].x-city[n].x)+abs(city[n-1].y-city[n].y);
he-=maxs;
printf("%d\n",he);
return 0;
}
|
彩带
描述
一中 90 周年校庆，小林准备用一些白色、蓝色和红色的彩带来装饰学校超市的橱窗，他希望满足以下两个条件：
(1) 相同颜色的彩带不能放在相邻的位置；
(2) 一条蓝色的彩带必须放在一条白色的彩带和一条红色的彩带中间。
现在，他想知道满足要求的放置彩带的方案数有多少种。
例如，如图 9.4-1 所示为橱窗宽度n=3 的所有放置方案，共 4 种。
輸入
一行一个整数 n，表示橱窗宽度(或者说彩带数目)。
輸出
一行一个整数，表示装饰橱窗的彩带放置方案数。
輸入範例 1
輸出範例 1
提示
对 30% 的数据满足：1≤n≤15。对 100% 的数据满足：1≤n≤45。
思路
此题感谢perisino大佬的指点
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注意最后一条不能是蓝色
当
- 第```(i-1)```条为红色或白色：因为最后一条不能是蓝色，所以有一种情况
- 第```(i-1)```条为蓝色：第```i```条与第```(i-2)```条颜色相反，有一种情况
- > ~~大佬之前把第二个```(i-1)```写成了```(i-2)```我差点没看懂~~
所以```f[i]=f[i-1]+f[i-2]```
```c++
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=50;
int f[MAXN];
int n;
int main(){
f[1]=2;
f[2]=2;
cin>>n;
for(int i=3;i<=n;++i){
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
cout<<f[n]<<endl;
return 0;
}
|
斐波那契前N项和
描述
求斐波那契数列前n项和取模m
輸入
一行两个整数n m
輸出
输出前n项和取模m
輸入範例 1
輸出範例 1
提示
1<=n<=2*10^91<=m<=1000000010
思路
是前n项和不是第n项
数据范围非常大，用矩阵
矩阵快速幂都忘了，丢人
矩阵A：1x3
? 内容：f(i-1),f(i-2),g(i-1)
? 其中f(i)表示斐波那契数列的第i项，g(i)表示前i项的和
矩阵B：3x3
? 内容：
则 f(n)=A⋅B(n−2)
要用long long要用long long要用long long
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| #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL MAXN=5;
LL n,m;
struct juzhen{
private:
LL v[MAXN][MAXN];
LL h,l;
void prLL(void){
for(LL i=1;i<=h;++i){
for(LL j=1;j<=l;++j){
cout<<v[i][j]<<' ';
}
cout<<'\n';
}
}
public:
juzhen(LL he,LL le){
memset(v,0,sizeof(v));
h=he,l=le;
}
friend juzhen operator *(juzhen a,juzhen b){
juzhen c(a.h,b.l);
for(LL i=1;i<=a.h;++i){
for(LL j=1;j<=b.l;++j){
for(LL k=1;k<=a.l;++k){
c.v[i][j]+=(a.v[i][k]*b.v[k][j]%m);
c.v[i][j]%=m;
}
}
}
return c;
}
friend juzhen operator ^(juzhen a,LL b){
juzhen ret(a.h,a.l),sum=a;
for(LL i=1;i<=a.h;++i){
ret.v[i][i]=1;
}
while(b){
if(b&1){
ret=ret*sum;
}
sum=sum*sum;
b>>=1;
}
return ret;
}
void writeV(LL x,LL y,LL val) {
v[x][y]=val;
}
LL callV(LL x,LL y){
return v[x][y];
}
};
juzhen a(1,3),b(3,3);
int main(void){
cin>>n>>m;
a.writeV(1,1,1);
a.writeV(1,2,1);
a.writeV(1,3,2);
b.writeV(1,1,1);
b.writeV(1,2,1);
b.writeV(1,3,1);
b.writeV(2,1,1);
b.writeV(2,2,0);
b.writeV(2,3,1);
b.writeV(3,1,0);
b.writeV(3,2,0);
b.writeV(3,3,1);
juzhen c=a*(b^(n-2));
cout<<c.callV(1,3)<<endl;
return 0;
}
|
偶数个3
描述
编程求出所有的 n 位数中，有多少个数中有偶数个数字 3。
輸入
一行一个正整数 n，0<n<1000。
輸出
一行一个正整数，表示 n 位数中有多少个数有偶数个 3。最后答案为12345取模
輸入範例 1
輸出範例 1
思路
好难一道题！
看着大佬打完表找出规律AC了，我的眼眶也湿润了。
然后我也dfs打了个表
然而找不到半分规律
最后看了大佬的规律和题解。。。
发现这规律可能我这辈子都找不出来。。
可能这就是我和大佬的差距吧
这里的大佬指的是(wyx大佬)[https://wuyanxi.top]和(perisino大佬)[https://cnblogs.com/perisino]
忽略上面这部分
主要解法就是用f[i][0]表示i位数中有偶数个3的数量
? 用f[i][1]表示i位数中有奇数个3的数量
若一个(i-1)位数中有偶数个3，要使i位数有偶数个3
则可以在其后追加1,2,4,5,6,7,8,9,0
若有奇数个，则可追加一个3
可得
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| f[i][0]=f[i-1][0]*9+f[i-1][1];
f[i][1]=f[i-1][1]*9+f[i-1][0];
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回文拆分
描述
对一个正整数K，求出K的所有拆分，并统计输出其中回文数列的个数。 所谓回文数列是指该数列中的所有数字，从左向右或从右向左看都相同。 例如：
K=4时，有如下的拆分：
4=1+1+1+1 （回文数列1）
=1+1+2
=1+2+1 （回文数列2）
=2+1+1
=2+2 （回文数列3）
=1+3
=3+1
回文数列共有3个
輸入
一行，一个正整数K，1<=K<=26
輸出
一个正整数，表示回文数列个数
輸入範例 1
輸出範例 1
思路
有的题在递推的contest里，但它实际上是道递归题
? ——鲁迅
写了个dfs想看看能过几个点，没想到AC了。
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| #include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int f[30];
void dfs(int step,int tot);
int k,cnt;
int main(){
cin>>k;
dfs(1,0);
cout<<cnt<<endl;
return 0;
}
void dfs(int step,int tot){
if(tot>k)return;
if(tot==k){
bool flag=1;
for(int i=1;i<=(step-1)/2;++i){
if(f[i]!=f[step-i]){
flag=0;
break;
}
}
if(flag){
++cnt;
}
}
for(int i=1;i<=k-tot&&i<k;++i){
f[step]=i;
dfs(step+1,tot+i);
}
}
|
看到自己是400+ms，而其他人都是2,3ms，感觉很尴尬
就打了个表
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| for(int i=1;i<=26;++i){
cnt=0;
memset(f,0,sizeof(f));
k=i;
dfs(1,0);
cout<<i<<' '<<cnt<<endl;
}
|
得到
这不是(2n−1)吗。。。
所以又AC一遍
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| #include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int qkpow(int x,int y);
int main(void){
int k;
cin>>k;
cout<<qkpow(2,k/2)-1<<endl;
return 0;
}
int qkpow(int x,int y){
if(y==0){
return 1;
}
int ret=1,sum=x;
while(y){
if(y&1){
ret*=sum;
}
sum*=sum;
y>>=1;
}
return ret;
}
|
恩~~
然后去找了找正解
每个数必须被分成3部分。
以4为例：4=1+2+1，我们发现中间的数字只能是偶数，即2和0，为2的时候有1种数列，0的时候有2种数列。
再来研究一下6，当为4的时候有1种，为2的时候有2种，为0的时候有4种。
最后看一下5，情况和4非常的相似，只是中间的数字只能是奇数。
就是令f[i]为i的拆分可能的情况，如果i为奇数，f[i]=f[i-1]，i为偶数，f[i]=f[i-1]*2
哇，%%%
